Cho A là ma trận m × n. Ta có

1. rank(A) = dim(rowsp(A)) = dim(colsp(A)),[4]
2. rank(A) = số phần tử chính trong các dạng bậc thang của A,
3. rank(A) = số cột hoặc hàng độc lập tuyến tính tối đa của A.[5]

Nếu ta coi ma trận là một biến đổi tuyến tính từ R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} vào R m {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}} , thì không gian cột của ma trận chính là ảnh của biến đổi tuyến tính đó.

Không gian cột colsp(A) = span({a1, …, an}) của một ma trận A là tập hợp tất cả tổ hợp tuyến tính của các vectơ cột a1 ⋯ an trong A. Nếu A = [a1 ⋯ an], thì colsp(A) = span({a1, …, an}). Tương tự, ta có không gian hàng là rowsp(A) = span({r1, …, rn}), với r1 ⋯ rn là các vectơ hàng.

Khái niệm không gian hàng có thể được mở rộng cho các ma trận trên trường số phức C {\displaystyle \mathbb {C} } , hay trên một trường bất kỳ.

Một cách trực quan, cho một ma trận A, kết quả của ma trận A tác động lên một vectơ x là một tổ hợp tuyến tính của các cột trong A với các hệ số là các thành phần tọa độ trong x. Một cách hiểu khác là ma trận đó sẽ (1) đầu tiên chiếu vectơ x lên không gian hàng của A, (2) thực hiện một biến đổi khả nghịch và cuối cùng, (3) đặt vectơ kết quả y vào không gian hàng của của A. Vì vậy vectơ kết quả (tích) y = Ax phải nằm trong không gian cột của A. Xem thêm về điều này trong phân tích giá trị suy biến.[cần giải thích]

Ví dụ

Cho một ma trận J:

J = [ 2 4 1 3 2 − 1 − 2 1 0 5 1 6 2 2 2 3 6 2 5 1 ] {\displaystyle J={\begin{bmatrix}2&4&1&3&2\\-1&-2&1&0&5\\1&6&2&2&2\\3&6&2&5&1\end{bmatrix}}}

các vectơ hàng là r 1 = [ 2 4 1 3 2 ] {\displaystyle \mathbf {r} _{1}={\begin{bmatrix}2&4&1&3&2\end{bmatrix}}} , r 2 = [ − 1 − 2 1 0 5 ] {\displaystyle \mathbf {r} _{2}={\begin{bmatrix}-1&-2&1&0&5\end{bmatrix}}} , r 3 = [ 1 6 2 2 2 ] {\displaystyle \mathbf {r} _{3}={\begin{bmatrix}1&6&2&2&2\end{bmatrix}}} , r 4 = [ 3 6 2 5 1 ] {\displaystyle \mathbf {r} _{4}={\begin{bmatrix}3&6&2&5&1\end{bmatrix}}} . Vì vậy, khồn fian hàng của J là không gian con của R 5 {\displaystyle \mathbb {R} ^{5}} sinh bởi { r1, r2, r3, r4 }. Vì bốn không gian hàng này là độc lập tuyến tính, không gian hàng là một không gian 4 chiều. Hơn nữa, trong trường hợp này ta có thể thấy tất cả các vectơ trên đều trực giao với vectơ n = [6, −1, 4, −4, 0], vì vậy có thể suy ra không gian hàng chứa tất cả các vectơ của R 5 {\displaystyle \mathbb {R} ^{5}} trực giao với n.